"Nul n’est relativiste s’il n’est Riemannien" pourrait-on dire en paraphrasant les Pythagoriciens car comme le disait Francis Bacon, “on ne vainc la nature qu’en lui obéissant”. Il est en effet impossible d’appréhender les comportements les plus violents de la Nature et de comprendre la relativité générale sans disposer du cadre de la géométrie riemannienne.

Mais elle semblait aux yeux de Marcel Grossmann[8] dans une telle “pagaille que les physiciens feraient bien de ne pas s’en mêler”. Fort de son intuition, Einstein le convainquit d’approfondir le sujet et nous allons suivre ses traces afin que la suite du récit vous soit compréhensible.

Le système de coordonnées de Riemann est une géométrie adaptée aux espaces courbes qui fait intervenir une composante appelée le tenseur, dont la réalité physique ne change pas et dont les lois sont invariantes par rapport à un certain nombre de transformations - ses propriétés de symétrie sont préservées, mais dont les composantes, les valeurs des grandeurs, se modifient en fonction du référentiel. Ce tenseur représente les composantes de chaque point de l'espace.

Dans les quatre dimensions d'un espace-temps euclidien repéré par une métrique minkowskienne, il faut quatre paramètres pour connaître l'intervalle entre deux événements. Le développement de cette somme se traduit par une équation différentielle de 16 termes en chaque point !

Dans l'espace de Riemann, où les axes de coordonnées sont des courbes variables, le fameux “mollusque” qu’affectionnait Einstein, il faut pouvoir déterminer l'angle de courbure. Sans cette détermination l'équation du rayon vecteur ds n'est plus un invariant. Pour retrouver cette invariance le système de coordonnées de Gauss s’impose. En appliquant des lois de transformation sur la composante g_mn, le tenseur métrique de rang deux du tenseur de courbure de Riemann-Christoffel, on obtient une relation dérivée covariante.

Le tenseur de Riemann-Christoffel, dit tenseur de courbure est le tenseur-clé de la théorie généralisée d’Einstein. Il dispose de quatre indices et est symbolisé par R^l_mnk (l,m,n et k en notation latine). Le tenseur de courbure R^a_b[ms] se décompose en deux parties, le tenseur de Weyl, C_[ab][mt] et le tenseur de Ricci, R_bn comportant chacun 10 composantes, 10 rayons de courbure différents[9] !

Les composantes du tenseur métrique

Dans un espace à 2 dimensions, le tenseur métrique g_mn à 3 composantes indépendantes, il y en a 6 dans un espace à 3 dimensions et 10 dans l’espace-temps à 4 dimensions, cela par application de la formule N(N+1)/2 où N est le nombre de dimension de l’espace considéré. 

Utilisons le théorème de Pythagore pour mesurer l’intervalle ds² qui sépare deux points à la surface d’une sphère d’un espace à 2 dimensions :  

Si l’espace-temps se courbe, les axes ne seront plus perpendiculaires entre eux et nous devrons utiliser les produits dxdy dans l’équation (1) car les composantes g₁₂ et g₂₁ seront différentes de 0.

Exemple :

Admettons que le point (x,y) subisse un changement de coordonnées :( x,y) -> (x’, y’) avec  x’ = 2x, y’ = 6 y

Réécrivons notre équation (1) et la matrice carrée correspondante :

ds²   =  (2 dx’)² + 2.6 dxdy + 6. 3 dydx + (6 dy’)²

ds²   =  4 dx’²  + 12 dxdy + 18 dydx + 36 dy’²

g’₁₁  =  4,        g’₁₂ =  12

g’₂₁  =  18,     g’₂₂ =  36

Le choix des coordonnées qui servent à repérer les points dans l’espace n’est pas unique; à des choix spécifiques de coordonnées {x¹,..., x^N} et {y¹,..., y^N} correspondent des composantes spécifiques du tenseur métrique g_mn(x) et g’_mn(y). Ces deux ensembles de composantes sont reliés par la loi de transformation :

Les coordonnées spatiales des différents points n’ayant plus de lien direct avec la mesure des distances, seul le tenseur métrique permet de convertir les différences de coordonnées en distances réelles.

Dans la métrique de Minkowski, l’intervalle ds² s’écrit :  

Cette équation étant un cas particulier dans l’espace plan de l’équation générale (2), dans une métrique courbe il est possible de mesurer cet écart non linéaire, dont les h_mn (x) sont les solutions :

g_mn (x) = h_mn + h_mn (x)

Prochain chapitre

Composantes tensorielles d’un espace-temps plat