Wavefront et PSF

[CPI-Z 1 233]

Convertir une image front-d'onde en PSF est peut-être un sujet qui peut intéresser certains.

WinRoddier, DFTFringe, Aberrator ... donne directement la PSF en fonction d'un front-d'onde donné. Mais comment cette PSF est construite ?

 

Vous avez certainement déjà vu ce post où l'on voit l'influence de l'obstruction sur la tache de diffraction (PSF)

http://www.astrosurf.com/viladrich/astro/instrument/sensitivity/spider-diffraction.htm

 

En fin de page de ce lien vous trouverez la phrase :

"The previous images were calculated with Iris software using the formula" : PSF = [ Module FFT (Aperture) ]^2

Autrement dit, le module au carré de la transformée de Fourier de l'image de la pupille donne la PSF, c'est utiliser pour retrouver l'impact des obstructions des miroirs secondaires, araignée ...

 

Alors j'ai fais le test avec IRIS (<fftd) et effectivement cela fonctionne

 

J'ai voulu utiliser la même méthode pour un front déformé et comme WinRoddier permet de faire des simulations je suis parti d'une coma pure car la PSF est bien déformée (voir la capture d'écran WinRoddier plus loin).

En utilisant la transformation de Fourier d'IRIS en appliquant directement la commande  <fftd sur l'image front-d'onde ci-dessous, voici ce que j'obtiens

On est très loin du résultat escompté produit par WinRoddier et l'image ne ressemble pas à celle d'une coma.

Je peux donc dire que dans ces conditions avec IRIS la formule PSF = [ Module FFT (Aperture) ]^2   ne fonctionne pas pour un front-d'onde déformé , sait à dire lorsque tous les points de la surface d'onde ne sont pas en phase, comme au travers d'une optique imparfaite ou via les turbulences atmosphériques ...

La notion de phase ou de différence de marche optique manque dans cette application FFT directe de l'image.

 

Dans la littérature j'ai trouvé des formules comme celles-ci

 

ainsi que des tableaux comme cela qui résume les transformation

 

Ayant fait plusieurs essais sans résultat et ne sortant pas de sup-optique pour interpréter ces formules j'étais bloqué.

J'ai alors contacté plusieurs personnes dont l'observatoire de Nice et celui de Paris.

Nice m'a renvoyé vers 2 astro-amateurs réputés, mais au final le résultat n'était pas au RDV.

L'observatoire de Paris m'a répondu en la personne de Monsieur Anthony Boccaletti qui avec patience et courtoisie m'a bien aidé. Je ne peux donc que le remercié une nouvelle fois ici.

 

En fait quand on sait c'est relativement simple.

Voici l'exemple, j'ai choisie un front déformé de coma pure car la PSF résultat est bien dissymétrique comme dans le cas général des tavelures mais en plus simple.

WinRoddier permet de faire des simulations

L'image du front d'une coma pure sera toujours la même, ce qui change sera l'amplitude de la déformée, son PTV, ici il est de 848 nm pour la longueur d'onde de 490nm et le terme Z8(3,-1) est de 150nm

848 / 490 = 1.73 donc le PTV exprimé en rapport d'onde est de 1.73

La différence de marche optique (ddm) entre le point le plus en avance et le point le plus en retard est de 1.73 onde

Voici l'image front-d'onde :  

Avec IRIS on peut soustraire la constante correspondant au fond de l'image, le fond devient 0 (zéro), ainsi les pixels positifs on une ddm en avance de marche et les pixels négatifs sont en retard de marche.

donc le ddm d'un pixel de l'image par la règle de trois est :  

ddm = valeur pixel * 1.73 / 251

La phase s'écrit    phi = valeur pixel * 2 * pi * 1.73 / 251

L'image phi est alors proportionnelle à l'image ddm et celle de départ.

 

L'image pupille est simplement remplie de 1 dans la pupille et de 0 hors de la pupille :  

 

Iris permet de transformer une image en tableau avec la commande < export_asc [nom] qui produit le fichier nom.asc

Il s'ouvre avec l'éditeur de texte et se rentre facilement dans un outil type tableur excel

Il y a 3 colonnes, les 2 coordonnées des pixels et sa valeur,  (x , y, valeur), on peut ainsi faire les calculs nécessaires et recréer l'image résultat. La commande < import_asc [nom] dans IRIS

Ainsi l'image phi est la même que l'image d'entrée (proportionnelle), sauf qu'au lieu d'avoir un PTV en pixel de 251, le nouveau PTV en pixel va de -5.43 à +5.43 pour cet exemple

 

La formule de la littérature peut s'écrire    PSF = | FFT ( A*exp( i phi)) |²   ou A est la fonction pupille. Le | |² correspond au module de la FFT au carré ce qui confirme la formule de départ lorsque le front est plan (phi = 0), sans ddm

Mais qu'en est-il du exp( i phi)

i c'est le nombre complexe imaginaire tel que i² = -1

et exp( i phi) = cos(phi) + i*sin(phi)

Dans le tableur il suffit de calculer en fonction de la valeur de la colonne phi, une colonne cos(phi) et une autre sin(phi). toutes les valeurs seront alors comprises entre -1 et 1

Et comme les valeurs pixels ne peuvent être que des nombre entier il faut les multiplier par une constante par exemple 30000 pour remplir la plage d'IRIS 16 bits (32767 max)

On peut ainsi créer les images cos(phi) et sin(phi)

cos(phi)              et sin(phi)

cos(phi)_30000.fit   et   sin(phi)_30000.fit

 

Détail qui a son importante :

sin(0) = 0 donc le fond reste à zéro

cos(0) = 1 donc tous les points du fond qui étaient à zéro passent à 1. Et  multiplier par 30000 ils passent à 30000. Il faut alors multiplier cette image cos par l’image pupille (constituée de pixels 0 et 1), multiplier par 0 pour retrouver le fond à zéro, le reste est multiplier par 1 pour que l’image cos reste inchangées dans la zone pupille.

 

Je fait simplement remarquer ici qu’une FFT est indépendante de l’intensité des pixels dans la mesure où les 2 images de même format sont proportionnelle en intensité.

Mais que faire de ces 2 images ? On en cherche qu'une la PSF !

De plus le module d'une FFT donne toujours une image symétrique alors qu'une PSF dans le cas général pour un front non plan est dissymétrique (exemple la PSF de la coma pure)

Il reste que la solution de faire une FFT^-1 la fonction inverse de la FFT qui à partir de 2 images l'une réel ou de fréquence, l'autre imaginaire ou de phase, donne une image résultat unique.

Il est précisé également que le fond à zéro doit être agrandi au minimum à un format couvrant 2 fois le diamètre de la pupille (< padding dans IRIS)

Et il faut que les images soit centrer pour une FFT^-1   (fonction ffti dans IRIS)

 

Au final voici ce que l'on obtient avec les 2 images au 2048 x 2048 :

 

Capture d'écran dans ImageJ :

 
On retrouve donc bien la PSF recherchée .

 

En fait la formule de départ dans la littérature pour des novices comme moi aurait pu s'écrire

L'image PSF est la transformée de Fourier inverse mise au carré, du couple d'images ( A*cos(phi) , sin(phi)) où phi est la phase en chaque point de l'image front-d'onde et A l'image pupille (0,1)         PSF = [ FFT^-1[ A*cos(phi) , sin(phi)] ]²

 

CPI-Z

 

 

Modifié 13 février 2021 par CPI-Z
Suite à la remarque de B.Brizehll

[jldauvergne 15 180]

il y a 3 minutes, CPI-Z a dit :

Tout le monde sait que le module au carré de la transformée de Fourier de l'image de la pupille donne la PSF, c'est utiliser pour retrouver l'impact des obstructions des miroirs secondaires, araignée ...

Je n'irais pas jusque là

[CPI-Z 1 233]

il y a 16 minutes, jldauvergne a dit :

Je n'irais pas jusque là

Mais toi tu le savais

Modifié 10 février 2021 par CPI-Z

[jldauvergne 15 180]

il y a 1 minute, CPI-Z a dit :

Mais toi tu le savait

Nop, je l'ai déjà lu, mais je ne saurais pas te le reformuler lors d'un diner en ville  
Il faut que je lise le reste, pas le temps là.