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ValereL

Pour Denis ( document vidéo sur un OVNI )

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Dis comme ça, OK. Je confonds effectivement formulation et représentation.

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"Oui, j'ai répondu à Alain concernant l'outillage, ou le langage mathématique que l'on a construit pour explorer l'univers des êtres mathématiques. Mais celui-ci ne nous a pas attendu pour exister... Nous ne faisons que le découvrir."

+ 1 avec Gord

Pour le principe de localité, c'est une des questions les plus fascinantes qu'on puisse se poser ! Les mathématiques sont-elles universelles ?

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VL, Kirth : c'est facile de donner un sens à 1/x en 0, il suffit d'appeler infini l'inverse de 0 (de même qu'on a appelé i la racine carrée de -1). Alors infini complète l'ensemble des nombres réels (qui devient un ensemble fermé) et permet de prolonger f:x -> 1/x par continuité : on pose f(0) = 1/0 = infini (par définition) et on voit bien que f est continue en 0 (seule subtilité : +infini et -infini sont un même infini, infini n'a pas de signe (comme 0, logique) - il y a plein d'autres raisons d'avoir un seul infini). Dieu est sûrement suffisamment fortiche pour y avoir pensé !

------
Alain31 : « Les mathématiques ne s'appliquent pas à Dieu »

Ah bon ?

(Maintenant, n'oublions pas que tout ça était un délire, hein ! Pour moi, c'était juste un prétexte pour écrire « l'inexistence de Dieu est une question triviale », phrase que je trouve très drôle (tellement ces questions ne sont en fait pas triviales).)

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Les mathématiques sont une boîte à outils inventée et utilisée par l'homme afin de modéliser la nature et ses phénomènes. La nature ne connait donc pas les mathématiques, sauf à prouver que la nature a été crée en utilisant les mathématiques et préciser lesquelles.

Ces outils de modélisation et de calcul sont en perpétuelle évolution et certains de ses concepts ne trouveront peut être pas d'application ou bien ne correspondent à aucune réalité. Les scientifiques et les ingénieurs piocheront dans ses rayons afin d'y extraire ce dont ils ont besoin. C'est aussi ce que fait le commun des mortels en faisant l'addition de ses achats.

Ce qui peut étonner certains c'est que les mathématiques semblent bien décrire la nature. Ceci fait dire que les mathématiques sont le langage de la nature.
Disons que l'homme s'est crée un langage afin de modéliser la nature dans un but de contrôle ou au moins d'exploration.

Cet outil est puissant puisqu'il peut créer des concepts qui peuvent exister ou pas; vitesse infinie, simultanéité temporelle, univers à 9999 dimensions etc.

Tant que les mathématiques sont utilisées dans un espace de connaissance qui reste à la portée des sens humains habituels, tout va bien.
Par contre, lorsque l'on en sort, disons du bon sens humain, des questions surgissent.

On pourrait citer de nombreux exemples, en voici un seul.
La plupart des phénomènes de la physique quantique sont bien décrits par les théories physiques correspondantes. Cependant, il n'est pas certain que ces théories renvoient bien à une réalité proche de celle que nous imaginons, même si elles décrivent bien ce 'quelque chose'.
Dans ce cas précis, nous avons d'ailleurs du mal à imaginer un 'quelque chose'.

Le scientifique peut être satisfait d'avoir mis en équation des phénomènes complexes grâce à ses outils mathématiques, alors qu'il ne comprends pas toujours ce qui se passe réelement.
Le rôle des mathématiques n'est pas d'expliquer mais de créer des modèles qui "singent" la nature et qui marchent un certain temps ou toujours.

Ce qu'il existe derrière des équations, n'est plus un problème mathématique, mais de l'interprétation humaine. D'une certaine façon on peut dire que les mathématiques sont inhumaines car elles ne prétendent rien; ni expliquer ni comprendre.

Et donc on peut faire dire n'importe quoi aux mathématiques, comme on peut faire dire n'importe quoi au langage. Quoi qu'on dise, vrai ou faux, ce n'est jamais le langage qui est en cause, mais la pensée qui est derrière.

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Lucien : "Les mathématiques sont une boîte à outils inventée et utilisée par l'homme afin de modéliser la nature et ses phénomènes."

Tant qu'à faire, on aurait pu la faire plus simple. Je ne sais pas moi, mais si j'avais inventé la géométrie, je me serais arrangé pour que le rapport d'une circonférence à un rayon tombe juste, 3 par exemple. Ou alors, que l'hypothénuse soit la somme des 2 autres côtés du triangle rectangle, sans passer par ces carrés pénibles.

Mais peut-être s'est-on heurtés à des lois et à des contraintes, en construisant cette "boite à outils" ?

Un peu comme la fabrication d'un tournevis ou d'un ordinateur oblige à prendre en compte certaines lois de la physique...

"La nature ne connait donc pas les mathématiques"

Cette phrase est dénuée de signification, en l'absence de définition un peu précise de ce qu'est la "nature", et de que veut dire "connaitre".

"Ces outils de modélisation et de calcul sont en perpétuelle évolution et certains de ses concepts ne trouveront peut être pas d'application ou bien ne correspondent à aucune réalité."

Le problème, c'est que tu n'accordes le statut de réalité qu'à ce qui est physqiue, matériel...Alors forcément, une telle définition arbitrairement restrictive conduit à des erreurs de raisonnement majeures. Les mathématiques ont leur propre domaine de réalité, point n'est besoin de trouver une correspondance physique à chaque objet de l'univers mathématiques pour qu'il soit.

"On pourrait citer de nombreux exemples, en voici un seul.
La plupart des phénomènes de la physique quantique sont bien décrits par les théories physiques correspondantes. Cependant, il n'est pas certain que ces théories renvoient bien à une réalité proche de celle que nous imaginons, même si elles décrivent bien ce 'quelque chose'.
Dans ce cas précis, nous avons d'ailleurs du mal à imaginer un 'quelque chose'."

Attention à ne pas confondre un formalisme mathématique avec une réalité physique dont il permet de prévoir les manifestations que nous percevons.

Pour ce qui est d'exister, les particules élémentaires n'existent pas plus pour nous que les formules mathématiques...Seuls les phénoménes existent. Le reste est du domaine de l'être. Et sous cet angle, les maths ont un "être" mieux défini et plus convaincant que les atomes ou les photons...

"Le rôle des mathématiques n'est pas d'expliquer mais de créer des modèles qui "singent" la nature et qui marchent un certain temps ou toujours."

Absolument pas.

"Et donc on peut faire dire n'importe quoi aux mathématiques"

Absolument pas.

"ce n'est jamais le langage qui est en cause, mais la pensée qui est derrière"

Il n'y a pas de pensée sans langage, cette assertion est donc elle aussi dénuée de sens.


[Ce message a été modifié par Gordon (Édité le 27-02-2011).]

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quote:
"Le rôle des mathématiques n'est pas d'expliquer mais de créer des modèles qui "singent" la nature et qui marchent un certain temps ou toujours."

Absolument pas.



Ce débat m'a toujours passionné, j'aimerais bien que tu développes ton "absolument pas"...

[Ce message a été modifié par Kaptain (Édité le 27-02-2011).]

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Lucien : "Les mathématiques sont une boîte à outils inventée et utilisée par l'homme afin de modéliser la nature et ses phénomènes."

Tant qu'à faire, on aurait pu la faire plus simple...
Mais peut-être s'est-on heurtés à des lois et à des contraintes, en construisant cette "boite à outils" ?
Un peu comme la fabrication d'un tournevis ou d'un ordinateur oblige à prendre en compte certaines lois de la physique...
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Gordon, il existe d'autres géométries ou le théorème de Pythagore ne s'applique pas pour ne citer que cet exemple.


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Pour ce qui est d'exister, les particules élémentaires n'existent pas plus pour nous que les formules mathématiques...Seuls les phénomènes existent. Le reste est du domaine de l'être. Et sous cet angle, les maths ont un "être" mieux défini et plus convaincant que les atomes ou les photons...
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Gordon, là je ne comprends pas. Les mathématiques sont incapables de déclencher un scintillomètre, certains 'bidules' oui.

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"Et donc on peut faire dire n'importe quoi aux mathématiques"
"ce n'est jamais le langage qui est en cause, mais la pensée qui est derrière"
Il n'y a pas de pensée sans langage, cette assertion est donc elle aussi dénuée de sens.
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Gordon, on peut utiliser les mathématiques afin de modéliser un univers courbe ou infini, ou formé de 12 dimensions etc.
Tous ces concepts existent mathématiquement parlant mais il est invraisemblable que tous soient exacts concernant notre univers. C'est pour cette raison que j'indiquais la distinction à faire entre le langage et son utilisation.

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En effet (je le répète) pour moi "mathématiques" est un terme relatif aux outils élaborés par l'homme au fil des siècles et je suis tout à fait d'accord avec Lucien.
Il y a 5000 ans l'algèbre que nous connaissons aujourd'hui n'était pas pratiqué par l'homme et la Renaissance ignorait les logarithmes népériens, par exemple.

Quand je dis que Dieu n'a rien à voir avec les mathématiques c'est de ceux là dont il s'agit: Pour créer l'univers Il n'aurait que faire de ces outils matériels.

Si l'on nomme "mathématique" les principes intrinsèques qui régissent l'univers, son harmonie, évidemment qu'ils existent et qu'ils sont leur essence.
Alors si on suppose que Dieu existe, qu'il a créé l'univers, que l'homme en est un composant qui a fabriqué l'outil mathématique, hé bien cet outil est forcément lié au Créateur; Mais Dieu n'a que faire de cet outil pour réaliser son oeuvre.

Gordon: (en réponse à Lucien) "Tant qu'à faire , on aurait pu la (géométrie) faire plus simple. Je ne sais pas moi, mais si j'avais inventé la géométrie, je me serais arrangé pour que le rapport d'une circonférence avec le rayon tombe juste, 3 par exemple."

Pi, 3,14.... est la réalité qui quantifie ce rapport dans l'univers sensible qui est le notre mais l'univers n'a que faire de ce rapport totalement inutile pour son existence.
Le travail des anciens a aboutit à ce résultat par rapport à l'invention de notre numération par souci de commodité, du reste c'est la définition de l'outil.
D'ailleurs ce nombre pourrait prendre une autre valeur en considérant une numération de base différente à 10.

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Le rapport de la circonférence au diamètre d'un cercle dans le plan euclidien vaut Pi, nombre irrationnel et même transcendant (ce n'est bien sûr pas une question de base 10 ou autre, de toute façon ce qu'est un nombre n'a rien à voir avec la base qu'on utilise pour l'écrire de façon décimale).

Cette particularité de Pi est la même dans tout l'univers : des extra-terrestres qui auraient inventé la roue seront confronté à la même difficulté à calculer Pi. Mieux : si l'univers était différent (la relativité générale prévoit d'autres types d'univers), eh bien Pi serait le même. Mieux : même si notre univers obéissait à d'autres lois, Pi serait toujours le même.

Ce raisonnement est valable pour toutes les mathématiques : tous les théorèmes mathématiques sont valables chez nous, à l'autre bout de l'univers et même dans d'autres univers potentiels.

Du coup, on peut dire que, en quelque sorte, Dieu a créé l'univers mais n'a pas créé les maths.

On me dira : ce sont les hommes qui ont créé les maths. Bonne question ! Si oui, alors des extra-terrestres utilisent de toutes autres mathématiques. Est-ce qu'ils utilisent Pi ? S'ils ont inventé la roue et qu'ils font des maths, je ne vois pas comment s'en passer, et alors ils vont remarquer qu'on ne peut pas l'écrire sous forme de fraction (s'ils comptent, ils utilisent forcément des fractions). Utilisent-ils les groupes ? Là ça semble différent, les groupes ne sont pas si évidents. Oui, mais les particules élémentaires sont décrites par des groupes simples (objets qui n'ont pourtant absolument jamais été définis pour décrire des particules !). Il me semble que même si le concept est plus compliqué, il n'est pas moins "naturel" qu'une fraction.

En fait, je ne pense pas que les maths sont une invention humaine. Prenons les équations différentielles. Voici deux scénarios possibles.
- On a inventé le calcul différentiel. On aurait pu ne pas l'inventer, ou inventer autre chose. Mais on l'a inventé. Du coup on a eu envie de s'en servir, alors on a décidé de l'utiliser pour décrire les trajectoires des planètes.
- On voulait décrire les trajectoires des planètes (à partir de la gravitation). Comment faire ? Eh bien il n'y a pas tellement de choix : il faut raisonner en terme de calcul différentiel. On a inventé le calcul différentiel parce qu'il existe (dans le sens que je vais décrire plus loin) et qu'on l'a en quelque sorte observé.

Il me semble que c'est le 2è scénario qui est le bon (en tout cas le 1er est faux).

Je précise maintenant ce que j'entendais par « le calcul différentiel existe ». Faisons comme si la Terre était parfaitement ronde. Dans ce cas, elle serait décrite par une sphère. Une sphère est un objet mathématique, pas un objet physique. Ce qui existe physiquement, c'est la Terre, une planète faite de roche et de gaz et tout et tout. Mais sa forme existe aussi. « Existe » dans un autre sens. On a observé sa forme, et on a utilisé la notion de sphère pour la décrire. Cette notion, on ne l'a pas inventée. La preuve : la Terre existait bien avant nous et a toujours eu cette forme. Voilà donc un exemple de concept mathématique qui « existe » et qu'on s'est contenté en quelque sorte d'observer. Bien sûr tout ça est vrai pour tous les concepts mathématiques, même si nombre d'entre eux ne sont pas inspirés d'objets physiques.

[Ce message a été modifié par Bruno Salque (Édité le 27-02-2011).]

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Pour réagir à la dernière remarque d'Alain 31 : attention, un nombre n'est pas défini par son écriture décimale, ni par aucune écriture particulière. Par exemple si je parle du nombre 17, je parle plus précisemment du nombre qui, en écriture décimale, s'écrit 17. Mais « 17 » n'est pas le nombre, c'est son écriture décimale. Il ne faut pas confondre l'objet (le nombre, la personne) et son nom (son écriture, son nom). Quand on dit que 17 est un nombre premier, c'est une propriété indépendante de la base employée. Toutes les propriétés usuelles des nombres sont indépendantes de leur écriture. Il en est de même pour Pi bien sûr : Pi est irrationnel, transcendant, Pi/4 est égal à la série alternée des inverses des nombres impairs, etc. et ce quel que soit le nom qu'on lui donne (base 10 ou autre, ou aucune).

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Je pense pour ma part que les mathématiques existent en tant qu' effet de bord de notre système nerveux, et pas plus.

Dans la nature, la sphère, le cercle, le triangle, n' existent pas.

On pourra chercher pendant la durée qui sépare le Big Bang de l' extinction de la dernière étoile de l' Univers Observable sans jamais trouver aucune forme géométrique naturelle vaguement triangulaire telle que la somme des carrés des longueurs des deux petits côtés soit exactement égale à la longueur du grand, et idem en ce qui concerne le rapport entre la circonférence et le diamètre d'une forme vaguement circulaire, ou d'une surface vaguement sphérique.

La Terre ne ressemble à une sphère que parce qu' on décidé arbitrairement que c'est le cas. On pourrait trouver un polygone qui serait une bien meilleure approximation, mais on CHOISIT d'utiliser comme approximation la sphère.

Probablement pour une raison neurologique : Notre cerveau est incapable de se coltiner un modèle avec des milliers de paramètres.
Idem pour la calcul différentiel : on s' en sert parce qu' on est incapable de gérer mentalement autre chose que la multiplication par une constante ou l' addition. Même la plus simple des fonctions mathématiques, l' exponentielle, est hors de portée de notre pauvre système neuronal, ce qui a (encore) été illustré magistralement par la crise des subprimes.

When all you have is a hammer, everything looks like a nail.

L' Univers est représentable par les mathématiques parce qu'on a inventé la notion pratique d' approximation. Une manière bien spécifiquement humaine de mettre la poussière sous le tapis.
Du coup, on s'étonne que l' Univers approximatif soit très bien représenté par les mathématiques, alors que, par définition l' Univers approximatif est la partie de l' Univers réel qui est représentable par les mathématiques. Le reste de l' Univers ? "hasard", "incertitude", "hors modèle". On a plein de mots pour "poussière sous le tapis".

Est-ce que les mathématiques extra-terrestres sont identiques aux notres ? Pas si sûr. Rien ne dit qu'ils soient partis des mêmes "approximations" (et donc, des mêmes axiomes). Rien ne dit que leur vision de l' Univers soit la même que la nôtre.

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"VL, Kirth : c'est facile de donner un sens à 1/x en 0, il suffit d'appeler infini l'inverse de 0 (de même qu'on a appelé i la racine carrée de -1). Alors infini complète l'ensemble des nombres réels (qui devient un ensemble fermé) et permet de prolonger f:x -> 1/x par continuité : on pose f(0) = 1/0 = infini (par définition) et on voit bien que f est continue en 0 (seule subtilité : +infini et -infini sont un même infini, infini n'a pas de signe (comme 0, logique) - il y a plein d'autres raisons d'avoir un seul infini).",

ouh là BS, comme tu y vas toi , la continuité de f en 0 avec les deux infinis en un seul par dessus le marché, oui, oui... , bon on va dire que c'est un p'tit délire gratuit comme le mien sur le voyage dans le passé pour expliquer la présence d'extraterrestres...

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Je vais dire ce que j’explique à mes étudiants.

Je démarre souvent mon exemple par l’expérience toute bête qui suit (de niveau collège mais dont le caractère concret illustre l’explication suivante en première année de fac) :

J’utilise à titre illustratif cinq petits cylindres de dimensions identiques et chacun constitué d’un matériau différent (bois, PVC, alu, acier ou laiton). Ils ont donc des masses différentes.
Je lâche deux cylindres d’une même hauteur (à vue d’œil), je répète plusieurs fois la même expérience (pour des hauteurs différentes et des couples de cylindres différents), ils arrivent toujours en même temps (à vue d’œil).
On pourrait refaire l’expérience autant de fois que l’on veut, deux objets identiques de masses différentes lâchés d’une même hauteur tombent toujours de la même façon :
Vous vivez dans un monde régi par des lois. Si ce n’était pas le cas, on ne pourrait jamais prédire quoi que ce soit ! C’est bien la reproductibilité des phénomènes dans le temps et l’espace qui permet d’affirmer qu’il y a des lois naturelles.

Mais ces lois peuvent elles être exprimées d’une façon ou d’une autre ? Oui, rien que la phrase : « Deux objets identiques de masses différentes lâchés d’une même hauteur tombent toujours de la même façon » est une formulation d’une loi. Mais au-delà, ces lois sont mathématiques, et les mathématiques apparaissent naturellement à l’observation des phénomènes naturels !

Entre parenthèses, on trouve les traces du début des mathématiques à l’époque de Sumer et de Babylone il y a plus de 4000 ans. Les mathématiques n’ont pas été inventées par les mathématiciens, pas plus que la grammaire n’a été inventée par des grammairiens ! Les mathématiques ont été inventées de par la nécessité de devoir gérer des surfaces de terrains, des cheptels d’animaux, etc… (Fin de parenthèses).


Si j’en reviens à mes objets qui tombent, comment établir une loi plus précise, plus prédictive ?
Il faut mesurer les distances de chute, mais aussi les temps de chute. On va donc établir des étalons de mesure pour les distances et le temps. Tel petit bâton de bois pourra servir d’unité de mesure des hauteurs, tel petit sablier pourra servir d’unité de mesure du temps.
Si je mesure la longueur d’une table, peu importe l’étalon de mesure, qu’il soit le pouce, le mètre, le mile, etc… la longueur de ma table sera toujours la même, seule sa valeur dans le système métrique considéré changera. Idem pour le temps.

Notez que si on commence à mesurer l’espace on va s’apercevoir qu’il y a de drôles de relations entre certaines longueurs. Par exemple, si on dessine des triangles, on découvrira des relations entre les longueurs des cotés qui seront indépendantes du système métrique (les théorèmes de Pythagore et de Thalès sont vrais indépendamment des unités de mesures).

De la même façon, si je commence à étudier la chute d’objets, quel que soit le système d’unités (des mètres et des secondes, ou des bâtonnets et des sabliers), je vais m’apercevoir que si je note « h » la hauteur de chute, et « t » le temps de chute, j’aurais toujours une relation de la forme : h = K*t*t où K est une constante qui dépend du seul système d’unités. Mais cette loi sera la même partout sur Terre, et elle est mathématique.
Les mathématiques ne sont pas une invention humaine. C’est une découverte, comme on découvre un nouveau continent ! C’est une formulation symbolique des phénomènes réels. Le simple fait de compter des moutons étant déjà une observation et une tentative de description d’un phénomène réel (les entités « moutons » sont dénombrables dans un champ) !
Après, la symbolique de représentation des mathématiques a peu d’importance en soi. Peu importe le symbole employé pour représenter une racine carrée, peu importe la base que vous utilisez pour compter, les mathématiques constituent un langage qui semble exister intrinsèquement.

Les mathématiciens ont donné une vie aux mathématiques indépendamment de leur relation au réel, un peu comme les grammairiens qui ont formulé la grammaire. Mais c’est le langage initial qui a imposé la grammaire pas l’inverse.
Des notions mathématiques comme les transformées de Fourier ou les distributions sont nées de la physique par exemple, avant d’être formalisées par les mathématiciens. On pourrait aussi citer le calcul vectoriel etc etc …

Quand on observe le monde, le fait d’utiliser des étalons, c'est-à-dire des « objets » de référence pour faire des mesures, on constate justement que le monde est mesurable ! Une distance, un temps, une température, une pression, une masse, un poids, une charge électrique, etc etc… tout est mesurable ! Et lorsque l’on met le monde en chiffres, on s’aperçoit que ces données chiffrées sont reliées entre elles : elles obéissent à des lois mathématiques !

L’étude des lois mathématiques de la Nature permet d’établir des relations entre des phénomènes différents, mais aussi de découvrir que certaines lois sont des approximations qui s’inscrivent dans un cadre plus large. La grande force de la physique théorique survient quand elle est capable de prédire des nouveaux effets, donc des nouvelles lois (dans le cadre d’un modèle ou d’une théorie) avant leur découverte expérimentale, et donc même de stimuler une voie de recherche expérimentale.

[Ce message a été modifié par Tournesol (Édité le 27-02-2011).]

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Tournesol :
Les mathématiques ne sont pas une invention humaine. C’est une découverte, comme on découvre un nouveau continent ! C’est une formulation symbolique des phénomènes réels. Le simple fait de compter des moutons étant déjà une observation et une tentative de description d’un phénomène réel (les entités « moutons » sont dénombrables dans un champ) !


Tu dis Tournesol que les mathématiques sont une formulation symbolique, or ce concept est typiquement humain, non ?
Je crois qu'il y a confusion entre la représentation et le représenté.

Suivant ce raisonnement on pourrait dire que la photographie n'est pas une invention humaine puisqu'elle permet de représenter des moutons biens réels.

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PascalD : il me semble que les étoiles à neutrons (ou certaines) sont sphériques à un pouillème quantique près (et encore).

Je me souviens d'une vieille discussion avec toi sur le sujet ou tu faisais remarquer que c'est nous qui choisissons les axiomes. Dans ce cas, je dirais que OK, peut-être qu'on a inventé les mathématiques. Peut-être que les extra-terrestres n'ont pas inventé la géométrie euclidienne et qu'ils utilisent une autre logique que la notre (si p==>q et q==>r, peut-être que pour eux p n'implique pas r). Mais ils n'ont pas pu tout inventer : tels axiomes entraînent obligatoirement telles propriétés, indépendamment de leur choix personnel d'axiomes.

Mais je suis d'accord avec toi qu'on ne peut comprendre que la partie de l'univers qui est « mathématisable ».

---------
VL : on peut pourtant faire quelque chose d'assez convaincant. Par exemple soient deux points A et B dans le plan. J'appelle E(x) l'ensemble des points M tels que AM/BM = x et F(x) l'ensemble des points M tels que BM/AM = x. Pour x = 1, par exemple E(1) = F(1) = la médiatrice de [AB]. Sinon c'est un cercle, sauf en x=0 : E(0)={A} et F(0)={B}. On remarque par ailleurs que pour tout x non-nul : E(x) = F(1/x) et vice-versa. Tout nombre x est équivalent à un ensemble E(x) (ça doit être une histoire d'homomorphisme, mais je ne sais plus trop...), on peut donc définir les nombres à partir d'eux. Il suffit alors de définir l'infini par : E(infini) = F(0) (et vice-versa). Dans ce sens, l'infini est l'inverse de 0, 0 est l'inverse de l'infini, et c'est bien quelque chose qui existe : E(infini)={B} et F(infini)={A}.

Une fois admis que l'infini est l'inverse de 0, on a donc fermé les réels (au sens de la fermeture) et on va définir la fonction x->1/x sur la fermeture des réels en la prolongeant par continuité en 0 et en l'infini :
- En 0, la limite à gauche et à droite vaut infini, donc on pose 1/0 = infini.
- En infini, la limite à gauche et à droite vaut 0, donc on pose 1/infini = 0.
Vu que ça marchera aussi pour les dérivées successives (qui sont en 1/x^n), la fonction inverse devient même infiniment dérivable sur la fermeture des réels.

(Pour bien visualiser comment x->1/x est continue en 0, il faut dessiner la courbe sur une sphère, pas sur un plan : elle descend, passe par derrière, atteint l'infini (le point à l'opposé de l'origine) puis remonte par derrière et continue à descendre devant... C'est pareil pour la continuité en l'infini : la courbe part à droite, fait le tour par derrière en passant par l'infini, et revient par la gauche...)

---------
À part ça, bien dit Tournesol !

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Bruno :
Mais je suis d'accord avec toi qu'on ne peut comprendre que la partie de l'univers qui est « mathématisable ».

Et l'amour de ma femme, bien que non 'mathématisable', il est bien réel, non ?
Cordialement,

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J'étais d'accord avec PascalD jusqu'à ce que Tournesol interviende.

Maintenant je suis d'accord avec Tournesol contre PascalD.

Ce n'est pas l'homme qui a inventé les "lois en 1/R2" c'est bien une donnée "de la nature"...

Du coup, effectivement, la question plus fondamentale que de savoir si les mathématiques sont universelles ou humaines, la vraie question est bien :

"pourquoi y a t-il des "lois de la nature" ?"

Voilà, PascalD, Bruno, Gordon, Tournesol, vaufrèges, vous rendez vite vos copies, les autres, c'est pas la peine

S

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quote:

Tu dis Tournesol que les mathématiques sont une formulation symbolique, or ce concept est typiquement humain, non ?

Le symbolisme procède de la capacité à se rendre compte que des entités données font partie d'une même classe d'objets possédant des propriétés communes.
Par exemple, j'observe des objets dont les propriétés communes me permettent de les classer dans une famille que je nomme "les arbres". Le symbole "arbre" étant plus commode pour décrire une problématique donnée dans un contexte précis.
Ensuite, que arbre s'écrive "ARBRE", "arbre", "tree", "£*%&" ou "1320", n'a aucune espèce d'importance, parce que tous les arbres partagent les mêmes propriétés.
Ce ne sont pas les humains qui ont décrété que dans un triangle rectangle le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. C'est une constatation. Peu importe les unités, peu importe les symboles utilisés pour écrire la loi : le sens sera le même et cette loi sera connue d'autres espèces intelligentes dans l'Univers.

Le symbolisme n'a rien de fondamentalement humain.
Le symbolisme est certes plus puissant dans le contexte d'une structure langagière, mais on sait depuis peu via diverses expériences en éthologie que de nombreuses espèces animales sont capables de symbolisme : c'est une capacité acquise d'un point de vue évolutif et crucial dès lors que vous êtes une proie ou un prédateur. Sans capacités minimales d'abstraction, de classification et de symbolisme, le moindre poisson est condamné à disparaitre au moindre changement morphologique de son prédateur et ou de sa proie habituelle, faute de pouvoir le reconnaitre.

Au-delà, le cerveau analyse son environnement de manière analogique ; Le symbolisme résulte du mode d'action des reconnaissances de formes des réseaux neuronaux, par approche globale et par canevas successifs.

Un être incapable de symbolisme serait un être incapable de reconnaitre deux humains comme deux individus de la même espèce. Au-delà, il est même assez concevable qu'un tel individu serait donc incapable de voir dans un de ses congénères un être semblable à lui, et donc serait incapable d'empathie ou de théorie de l'esprit.
Pour un tel être, il n'y aurait aucun lien entre la chute d'une pomme, et la chute d'un chat depuis une table...

En l'occurrence, la capacité de symbolisation détermine à mon sens la capacité d'une espèce à décrire le monde et donc à avoir une emprise sur lui.
Les lois restent les lois, et il est probable que si d'autres espèces intelligentes existent dans l'Univers elles constaterons les mêmes lois que nous à un moment ou un autre.
Les mathématiques d'une autre civilisation seront forcément compréhensibles par nous modulo :
1. La barrière de la langue et des symboles (au sens écriture) utilisée (on trouve dans des vieux textes indiens des méthodes de calculs parfaitement compréhensibles pourvu que l'on comprenne le sanskrit).
2. Les notions préliminaires nécessaires pour comprendre ces mathématiques (pas sur que Gauss pigerait au premier coup d'œil la théorie des distributions).

[Ce message a été modifié par Tournesol (Édité le 27-02-2011).]

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Kaptain :"Ce débat m'a toujours passionné, j'aimerais bien que tu développes ton "absolument pas"..."

L'objet des mathématiques, c'est l'exploration de l'univers mathématique (il ne s'agit pas de l'univers physique, répondant approximativement ou non aux lois des maths, mais de l'univers des objets mathématiques...Cette confusion rend par exemple la réponse de PascalD hors-sujet sur la thèse du platonicisme ou non au sujet des maths. Que la nature physique soit plus ou moins mathématique ne change rien à la question de fond. Nous n'avons pas inventé les maths, elles nous préexistent. La thèse "effet de bord" de notre système neurologique ne résiste pas à l'analyse. Mais Tournesol a développé ça mieux que moi plus haut. A quelques imprécisions près sur le langage, la grammaire leur étant inhérente, et non "inventée" par les grammairiens, qui se contentent de la codifier).

Les physiciens peuvent bien y trouver de l'outillage pour leur propre démarche, OK, mais ça n'autorise pas l'annexion de la finalité des maths à décire la nature physique (qui n'est qu'un sous ensemble de la réalité).

Sinon, c'est vrai que parfois la physique précède les maths pour explorer de nouvelles contrées (par exemple, la renormalisation en QED, dont la théorie mathématique est assez récente, au début c'était considéré comme un infâme bidouillage par les physiciens, qui semblent parfois bien aimer, dans leur discours, déconsidérer les maths et les dégrader en simple outillage. Sans doute parce que les maths traitent d'un domaine de réalité non matériel, et que l'idéologie galiléenne-réductionniste est forte chez les physiciens ?).

Lucien : "Gordon, là je ne comprends pas. Les mathématiques sont incapables de déclencher un scintillomètre, certains 'bidules' oui."

En toute rigueur, un scintillomètre n'est pas plus déclenché par une "particule", que par une fonction d'onde ou une matrice. Atomes, photons ou équations ne sont que des représentations ou des formalismes qui servent à faire des prédictions sur les phénomènes, la seule chose existante là-dedans c'est le fait que le scintillomètre se déclenche.


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quote:
Sans capacités minimales d'abstraction, de classification et de symbolisme, le moindre poisson est condamné à disparaitre au moindre changement morphologique de son prédateur et ou de sa proie habituelle, faute de pouvoir le reconnaitre.

Excellente remarque, qui confirme qu'on ne peut survivre dans ce monde sans un minimum de "conscience". Celle-ci est une "émergence naturelle de la vie" sans quoi la vie elle-même n'est pas possible...

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quote:
la nature physique (qui n'est qu'un sous ensemble de la réalité).

Des fois, tu me fais peur... Euh, le "reste", c'est quoi au juste ?

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Lucien : « Et l'amour de ma femme, bien que non 'mathématisable', il est bien réel, non ? »

Oui, mais ne me dis pas que tu comprends ta femme ?

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Kaptain : 'Euh, le "reste", c'est quoi au juste ?

Ben, par exemple, l'univers des objets mathématiques.

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Lucien :
Tu dis Tournesol que les mathématiques sont une formulation symbolique, or ce concept est typiquement humain, non ?

Tournesol :
Le symbolisme n'a rien de fondamentalement humain.
Le symbolisme est certes plus puissant dans le contexte d'une structure langagière, mais on sait depuis peu via diverses expériences en éthologie que de nombreuses espèces animales sont capables de symbolisme : c'est une capacité acquise d'un point de vue évolutif et crucial dès lors que vous êtes une proie ou un prédateur. Sans capacités minimales d'abstraction, de classification et de symbolisme, le moindre poisson est condamné à disparaitre au moindre changement morphologique de son prédateur et ou de sa proie habituelle, faute de pouvoir le reconnaitre.
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Lucien :
Au départ de mon propos, il s'agissait de "formulation symbolique mathématique" qui est, selon moi et pour l'instant, réservée à l'homme sur terre. Les animaux ont une conscience et sans doute des représentations symboliques associées.

Dans certaines expériences on a pu faire réaliser des additions arithmétiques à des singes, cependant ils n'ont pas développé de formalisme mathématique pour autant.


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